洛谷P4127 [AHOI2009]同类分布

KnightL

Description

给出两个数 $a$，$b$ ，求出 $[a,b]$ 中各位数字之和能整除原数的数的个数。

Solution

设 $f[i][j][k][q]$ 表示枚举到第 $i$ 位，当前数字为 $j$ ，各个数位上的数字和为 $k$，原数模 $k$ 的余数为 $q$。

可以发现，从 $i - 1$ 位推到第 $i$ 位并不好推，所以可以转变一下。

用第 $i$ 位推第 $i + 1$ 位。

显然有

$f[i+1][s][j+s][(k+s\times 10$ⁱ$)\bmod x]=\sum$ $f[i][t][j][k]$

约束条件为 $i\in [1,len]$，$j\in [0,\min{i\times 9,x}]$，$s\in[0,9]$，$k\in[0,x)$

其中 $i$ 是枚举位数，$s$ 是下一位上的数，$t$ 是当前位上的数，$x$ 是总数位和，$k$ 是余数，$j$ 是当前累计的数位和。

然后对于答案的统计:

对于位数小于当前位的，加上 $f[i][10][x][0]−f[i][0][x][0]$。
对于位数相同的，计算小于最高位的加上 $f[num_i][s][x][0]$。
然后对于当前不同的一位进行讨论即可，计算出后面所需要的余数，然后加和。

$num_i$ 是 $i$ 的最高位，$x$ 是要求的位数和。

答案就是所有位数和的 $ans$ 之和, 同时要满足 $[l,r]$。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define int long long

using namespace std;	

int A,B;
int f[20][11][172][172];
int highest[20],a[20][2];
int Mod,Pow[20];

inline int read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' &&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return w*s;
}

inline int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline void F(int x,int y){highest[y]=0;while(x){a[++highest[y]][y]=x%10;x/=10;}}

inline void init(int x,int len){
	memset(f,0,sizeof f);
	for(register int i=0;i<=9;i++) f[1][i][i][i%x]++,f[1][10][i][i%x]++;
	for(register int i=1;i<len;i++)
		for(register int j=0;j<=Min(i*9,x);j++)
			for(register int k=0;k<x;k++){
				if(f[i][10][j][k])for(register int s=0;s<=9;s++){
				    	f[i+1][s][j+s][(k+s*Pow[i])%x]+=f[i][10][j][k];
				    	f[i+1][10][j+s][(k+s*Pow[i])%x]+=f[i][10][j][k];
				    }
			} 
	Mod=x;
}

inline int solve(int s,int x){
	int ans=0,num=a[highest[s]][s],now=num;
	for(register int i=1;i<highest[s];i++) ans+=f[i][10][x][0]-f[i][0][x][0];//处理最高位之前
	for(register int i=1;i<a[highest[s]][s];i++) ans+=f[highest[s]][i][x][0];//处理最高位 
	if(x<now) return ans;
	for(register int i=highest[s]-1;i;i--){
		int tot=(x-num*Pow[i]%x)%Mod;
		for(register int j=0;j<a[i][s];j++)ans+=f[i][j][x-now][tot];//操作最高位 
		now+=a[i][s];num=(num*10+a[i][s])%Mod;
		if(x<now) break;	
	}
	return ans;
}

signed main(){
	int ans=0;A=read();B=read();F(A,0),F(B+1,1);Pow[0]=1;
	for(register int i=1;i<=18;i++) Pow[i]=Pow[i-1]*10; 
	for(register int i=1;i<=highest[1]*9;i++){init(i,highest[1]);ans+=solve(1,i)-solve(0,i);}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}